[personal profile] sasha_br
Here is an elementary (but not completely trivial) fact from group theory that I didn't know. Let A be a finite abelian group. Let us define the trace of A (tr(A))
to be the sum of all n_i if A is isomorphic to the product of cyclic groups of sizes n_1,...,n_k, where each n_i is a prime power. Then A is a subgroup of S_n if and only if tr(A) is less than of equal to n.

Date: 2014-01-17 01:02 pm (UTC)
From: [identity profile] xgrbml.livejournal.com
Так это ж типа очевидно. Или ты хочешь сказать, что это понятие tr(A) имеет какой-то еще смысл?

Date: 2014-01-17 01:06 pm (UTC)
From: [identity profile] sasha-br.livejournal.com
Очевидно в одну сторону - в другую совсем нет.

Date: 2014-01-17 01:14 pm (UTC)
From: [identity profile] xgrbml.livejournal.com
Погоди, а что такое этот tr, собственно говоря? Разлагать же в пр. сумму циклических можно по-разному. Tr(Z/6Z) равен 6 или 5?

Date: 2014-01-17 01:17 pm (UTC)
From: [identity profile] sasha-br.livejournal.com
5, сейчас поправлю определение.

Date: 2014-01-17 01:54 pm (UTC)
From: [identity profile] xgrbml.livejournal.com
Тогда я не вижу, в чем проблема в любую сторону. Пусть в S_n есть k попарно коммутирующих эл-тов порядка "степень простого", для которых порожденныеими подгруппы образуют прямую сумму. Казалось бы, очевидно, что в их разложениях на циклы участвуют разные эл-ты из [1;n] - что не так?

Date: 2014-01-17 01:58 pm (UTC)
From: [identity profile] sasha-br.livejournal.com
Как говорит Каждан в таких случаях: "Это новый, интересный и неверный результат".
Edited Date: 2014-01-17 02:01 pm (UTC)

Date: 2014-01-17 02:05 pm (UTC)
From: [identity profile] xgrbml.livejournal.com
Ну ладно, нельзя делать два дела одновременно. С ходу дыры не вижу, вчерпеом в пробках подумаю.

Date: 2014-01-17 02:07 pm (UTC)
From: [identity profile] sasha-br.livejournal.com
Просто возьми подстановки (12)(34) и (13)(24).
Обе имеют порядок 2 и порождают Z/2Z\times Z/2Z

Profile

sasha_br

February 2017

S M T W T F S
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
26 2728    

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 23rd, 2017 06:17 pm
Powered by Dreamwidth Studios